INTRODUZIONE AL PROBLEMA
Interconnessioni di Nanotubi di Carbonio [NT]
Il principale modo per aumentare la potenza di calcolo di un processore è inserire il maggior numero possibile di transistor su singolo chip ( ogni componente esegue una singola operazione, aumentando il numero di componenti aumento il numero di operazioni). Per fare ciò, è necessario che le interconnessioni tra questi, abbiamo dimensione più piccola possibile: più piccola è l’interconnessione, maggior spazio ho per aggiungere ulteriori transistor.
Tuttavia, miniaturizzare le interconnessioni, non è problema da poco.
Questa strategia ha comportato la necessità di trovare altri materiali che consentissero di superare le
limitazioni del rame, che ha una conducibilità elettrica legata al meccanismo di conduzione dello scattering: gli elettroni subiscono continue interazioni ( “urtano”) con il reticolo, cambiando la loro traiettoria in continuazione, in maniera randomica. Introducendo un campo elettrico, questi subiscono un’ orientazione media ( gli elettroni subiranno un’ accelerazione in maniera concorde con il verso del campo elettrico, dunque alcuni inizieranno a muoversi in questo verso, altri, continueranno a muoversi in verso opposto ma verranno decelerati).
Immaginando questo meccanismo, è facile realizzare che:
- negli urti con il reticolo, gli elettroni perdono energia
- al diminuire della sezione del conduttore, la resistività del materiale aumenta ( minore sarà lo spazio, maggiore sarà la probabilità, da parte dell’elettrone, di urtare il reticolo, minore sarà la probabilità di arrivare all’altro capo del conduttore [ dunque di avere passaggio di una corrente ]
A questo punto è evidente che la riduzione delle dimensioni di un’interconnessione comporta dei problemi: in termini di resistenza (performance delle interconnessioni) se devo interconnettere un Trasmettitore [Tx] con un Ricevitore [Rx] e ho una resistenza elevata, avrò una caduta di tensione elevata e quindi una degradazione delle prestazioni. L’incremento della resistività del rame che si osserva al diminuire della sezione, comporta un aumento del ritardo di propagazione del segnale e anche una perdita per effetto joule e quindi una perdita di integrità del segnale perché aumenta il ritardo, ma anche una perdita di integrità di potenza del segnale.
Quantum Wire [QW]
Bene, abbiamo ora compreso che nano-interconnessioni non sono possibili con il rame, elaboriamo quindi un modello che risolva la situazione. Il QW è un modello che rappresenta un cristallo monodimensionale, ossia una struttura periodica con distribuzione atomica lungo una sola direzione.
In questo modello, non è ovviamente possibile la propagazione per scattering ( essendoci una sola dimensione, se l’elettrone urta contro il reticolo, può solo tornare indietro, dunque, non vi può essere conduzione). Tuttavia, sui Nanotubi di Carbonio, che sono l’oggetto reale più vicino al modello teorico del QW, si è sperimentalmente osservato che, non solo c’è conduzione, ma quest’ultima avviene senza fenomeni dissipativi, è stato quindi necessario introdurre il modello di propagazione Balistica ( o non interagente, modello del Liquido di Luttinger )
L’ elettrone si propaga senza interazioni e senza perdite di energia. Il suo libero cammino medio coincide con la lunghezza del QW
Formula sperimentale di Landau-Buttinger
Tranquillo, nulla di complicato, banalmente applicarono una tensione ai capi di un QW ed osservarono la relazione tra corrente e tensione. La cosa notevole è che da tale relazione, usciva fuori una costante indipendente dalle caratteristiche del QW ( lunghezza, tipo…) : la conduttanza quantica.
Riproducendo lo stesso esperimento su un NT, si ottiene un risultato atteso : la Conduttanza di un NT è proporzionale a quella quantica ( in un NT vi sono più atomi e più cariche in movimento).
Riassunto in figura:
RISOLUZIONE DEL PROBLEMA
Linee di Trasmissione
L’interconnessione TX- NT – RX , è a tutti gli effetti una linea di trasmissione, partiremo dunque studiando il modello classico di guida d’onda, per poi passare a quello quantistico, al fine di ricavare le equazioni di propagazione lungo la linea..
Una linea di trasmissione è un oggetto costituito da almeno due corpi conduttori che abbia dimensioni confrontabili con la lunghezza d’onda (es cavo coassiale, due fili paralleli). Lo scopo è quello di ricavare le equazioni di propagazione della Tensione e della Corrente.
Equazioni di propagazione della Tensione
Questa configurazione supporta modi di propagazione TEM o quasi TEM ( come vedremo).
Partiamo dalle Equazioni di Maxwell tridimensionali.
2.0) \nabla\times\vec{E} = j\omega \mu_{0}
\vec{H}2.1) \nabla\times\vec{H} = j\omega\epsilon _{0}
\vec{E}integro la 2.0 lungo la Superficie evidenziata in rosso in Fig. 2.1 ottenendo
2.2) \iint_{S}^{} \nabla\times\vec{E} \cdot \hat{n} \hspace{0.2cm} ds =- j\omega\mu _{0}\iint_{S}
\vec{H} \cdot \hat{n} \hspace{0.2cm} ds Applicando il Teorema di Stokes al primo membro della 2.2) otteniamo
2.3) \oint \vec{E} \cdot dl = -j\omega\mu _{0}\iint_{S}
\vec{H} \cdot \hat{n} \hspace{0.2cm} ds Applichiamo ora le condizioni di propagazione QUASI TEM.
Perché “quasi”?
Perché, nella realtà, la conducibilità del materiale è diversa da infinito, dunque, per la legge di Ohm locale, avrò un piccolo campo elettrico che si propaga anche lungo l’asse x.
if \hspace{0.3cm}\sigma \neq \infty\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \vec{E}= \frac{\vec{J}}{\sigma}\neq 0Abbiamo quindi :
TEM \begin{Bmatrix}
\vec{E} = (0,E_y,0)\\ \vec{H}= ( 0,0,H_z)
\end{Bmatrix} \to quasi \hspace{0.1cm}TEM \begin{Bmatrix}
\vec{E} = (\check{E_x},E_y,0)\\ \vec{H}= ( 0,0,H_z)
\end{Bmatrix}Devo ora risolvere la 2.3)
STRATEGIA:
Spezzo l’integrale al primo membro della 2.3) lungo il percorso chiuso A – B – C – D di Fig. 2.2
2.4) \oint \vec{E} \cdot dl = \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot dl + \int_{B}^{c} \vec{E} \cdot dl + \int_{C}^{D} \vec{E} \cdot dl + \int_{D}^{A} \vec{E} \cdot dl e risolvo uno per uno gli integrali del secondo membro tenendo sempre presente la Fig 2.2
TERMINI ORIZZONTALI
2.5) \int_{B}^{C} \vec{E} \cdot dl =\int_{x}^{x+dx} E_x(0,h) \cdot dx
Faccio ora un’ipotesi
HP : conduttore uniforme lungo tutta la lunghezza
Posso quindi introdurre un’impedenza che lo caratterizza :
Z'_c =\frac{E_x}{I}NB: facendo l’analisi dimensionale ho che Z’ è in Ohm/m , E è in V/m, dunque I sarà Volt/Ohm ovvero Ampere
Posso quindi riscrivere la 2.5) come
2.6)\int_{x}^{x+dx} E(h) \cdot dx = \int_{x}^{x+dx} Z'_x I \cdot dx = Z'_c I \cdot dxIn cui abbiamo portato fuori dall’integrale l’impedenza essendo costante lungo tutta la linea per l’ipotesi precedente.
Procedo con il tratto D – A
2.7)\int_{D}^{A} \vec{E} \cdot dl = \int_{x}^{x+dx} E_X \cdot dx = Z'_{piano} I \cdot dxTERMINI VERTICALI
2.8) \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot dl = \int_{A}^{B} E_y \cdot dy= - V(x) \hspace{0.3cm};\hspace{0.3cm} \int_{C}^{D} \vec{E} \cdot dl = -\int_{C}^{D} E_y \cdot dy= V(x + dx)Abbiamo quindi risolto il promo membro della 2.3), Procediamo ora a risolvere il secondo:
2.9) j\omega\mu _{0}\iint_{S}
\vec{H} \cdot \hat{n} \hspace{0.2cm} ds = j\omega \mu _{0}\int_{x}^{x+xd}\int_{0}^{h}
H(\xi ,y) \cdot ds = j\omega \Phi_econ
\Phi_e=\mu _{0}\iint_{S}
\vec{H} \cdot \hat{n} \hspace{0.2cm} ds = flusso \hspace{0.2cm}spira =L_eI e quindi
2.9) j\omega\mu _{0}\iint_{S}
\vec{H} \cdot \hat{n} \hspace{0.2cm} ds = j\omega \mu _{0}\int_{x}^{x+xd}\int_{0}^{h}
H(\xi ,y) \cdot ds = j\omega \Phi_e=j\omega L_eI=Z_eI = Z'_e I dxdato che
Z_e = j\omega L_e\hspace{0.1cm} e \hspace{0.1cm} Z_e=Z'_e dxRiassemblo la 2.6-2.7-2.8 e 2.9 per riformare la 2.3 ed ottengo
2.10)-V(x) + V(x+dx)+ I ( Z'_c + Z'_{piano})\cdot dx =Z'_eIdxordinando
2.11) \hspace{0.2cm}\frac{V(x)-V(x+dx)}{dx}= ( Z'_e-Z'_c - Z'_{piano})I(x)Raggruppando le Impedenze in un unica impedenza caratteristica e facendo tendere dx a zero, ottengo
l’equazione di propagazione della Tensione [EDPT]
2.12) \hspace{0.2cm}\frac{dV(x)}{dx}= -Z'I(x)NOTA ESPLICATIVA : le impedenze con apice sono valutate in Ohm/metro, infatti, volendo da quelle ricavare l’impedenza assoluta ( senza apice ), devo moltiplicare per la lunghezza dx.
EQUAZIONI DI PROPAGAZIONE DELLA CORRENTE
Si parte dall’equazione di continuità della corrente
2.13) \hspace{0.2cm}\nabla \cdot \vec{J} = 0 applicando nuovamente il Teorema di Stokes al primo membro della 2.13) ( in particolare il Teorema della divergenza ) otteniamo
2.14) \int_V\hspace{0.2cm}\nabla \cdot \vec{J} \hspace{0.2cm}dV=\oiint_S\hspace{0.2cm} \vec{J} \cdot\hat{n}\hspace{0.2cm}dS =\oiint_{S_1}\hspace{0.2cm} \vec{J} \cdot\hat{n_1}\hspace{0.2cm}dS +\oiint_{S_l}\hspace{0.2cm} \vec{J} \cdot\hat{n_l}\hspace{0.2cm}dS+\oiint_{S_2}\hspace{0.2cm} \vec{J} \cdot\hat{n_2}\hspace{0.2cm}dS = 0 0Le superfici di integrazione, vengono scelte come indicato in Fig.2.3. La strategia di risoluzione è sempre la stessa: si spezza l’integrale di superficie, lungo le tre superfici, si risolvono separatamente, e poi si riassemblano a formare l’espressione finale.
abbiamo quindi che, la densità dicarica lungo le superfici S1 ed S2 genera correnti di conduzione
2.15) \oiint_{S_1}\hspace{0.2cm} \vec{J} \cdot\hat{n_1}\hspace{0.2cm}dS = - I(x) \hspace{0.5cm}2.16)\oiint_{S_2}\hspace{0.2cm} \vec{J} \cdot\hat{n_2}\hspace{0.2cm}dS = I(x+dx)mentre, essendo il conduttore isolato dal suolo tramite un dielettrico, avrò tra questi un accoppiamento capacitivo ( dettagli ) e dunque la densità di carica lungo la superficie Sl mi genera una corrente di spostamento
2.17) \oiint_{S_l}\hspace{0.2cm} \vec{J} \cdot\hat{n_l}\hspace{0.2cm}dS_l = \int_{x}^{x+dx}\hspace{0.2cm} J_s \cdot\hspace{0.2cm}dx =J_s\int_{x}^{x+dx}\hspace{0.2cm}dx = I_S =Y'_l dx V(x)in cui abbiamo supposto dx sufficientemente piccolo, tale da avere una densità di carica Js costante in quel tratto infinitesimo. Riassemblando 2.15, 2.16, 2.17 a formare la 2.14 e riordinando i termini, otteniamo
\hspace{0.2cm}\frac{I(x)-I(x+dx)}{dx}= Y'_lV(x)Facendo tendere dx a zero, otteniamo l’equazione di propagazione della corrente [EDPC]
2.18) \hspace{0.2cm}\frac{dI(x)}{dx}=- Y'_lV(x)che, insieme alla 2.12) formano LE EQUAZIONI DEI TELEGRAFISTI
2.18) \hspace{0.5cm} \left\{\begin{matrix}
\hspace{0.2cm}\frac{dV(x)}{dx}= -Z'I(x)\\\hspace{0.2cm}\frac{dI(x)}{dx}=- Y'V(x)
\end{matrix}\right. \hspace{0.2cm}con \hspace{0.3cm} Z'= Z'_C+Z'_p+Z'_l\hspace{0.2cm};\hspace{0.2cm}Y'=Y'_lPossiamo dunque ricavare il circuito equivalente in Fig 2.3.2, tenendo presente le relazioni generali di impedenza ed ammettenza in Fig. 2.3.1
CAPACITA’ E INDUTTANZA ESTERNE
Sono valori tabellati, da imparare a memoria. Si ricavano mediante il metodo delle immagini. Tuttavia, nel metodo delle immagini classico, si ipotizza che il conduttore sia collocato ad una quota h sufficientemente lontana dal suolo, tale da non perturbarne la distribuzione di carica interna, mentre, nel nostro caso, il nanotubo è collocato sul silicio, questo fa si che la distribuzione di carica interna, si addensi lungo la superficie a contatto con il piano, come in Fig. 2.5.
Ciò detto, le equazioni che useremo sono le seguenti:
2.19) \hspace{0.5cm} \left\{\begin{matrix}
C'=\frac{2\pi\epsilon}{cosh^{-1}(\frac{h}{r_0})} \\ L'_l=\frac{\mu}{2\pi}cosh^{-1}(\frac{h}{r_0})
\end{matrix}\right.RISOLVIAMO LE EQUAZIONI DEI TELEGRAFISTI
STRATEGIA DI RISOLUZIONE: le derivo, in modo da far comparire ai membri di destra le derivate prime rispetto ad x, rispettivamente di tensione e corrente, la cui relazione esplicita è data proprio dalle EDT. Procedo quindi a sostituire ai membri di destra le relazioni esplicite ricavate dalle 1.28) e, a questo punto, avrò due equazioni differenziali, una della tensione, l’altra della corrente, in forma canonica, che ammetteranno dunque la soluzione standard.
\frac{dEDT}{dx} \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
\frac{d^2V}{d^2x}=-Z' \frac{dI}{dx} \\ \frac{d^2I}{d^2x}=-Y' \frac{dV}{dx}
\end{matrix}\right.Sostituendo ai rispettivi secondi membri, le relazioni ricavate dalle 2.18) otteniamo
2.20) \hspace{0.5cm}\left\{\begin{matrix}
\frac{d^2V}{d^2x}= Z'Y'V \\ \frac{d^2I}{d^2x}=Y'Z' I
\end{matrix}\right.essendo in forma canonica, ammettono soluzione del tipo trascendente
2.21) \hspace{0.5cm} V(x) =k e^{-sx} con k e s costanti da determinare dalle condizioni al contorno
2.22.1) \hspace{0.5cm} \frac{dV(x)}{dx} = -ske^{-sx}= -sV(x)\hspace{0.5cm} da \hspace{0.2cm}cui \hspace{0.5cm}2.22.2)\hspace{0.5cm}\frac{d^2V(x)}{dx^2} = s^2V(x)Sostituendo la relazione 2.22.2 nella prima delle 2.20 otteniamo
2.23.1) \hspace{0.5cm} s^2V(x)=Z'Y'V(x) \hspace{0.5cm} da \hspace{0.2cm} cui \hspace{0.5cm}2.23.2) \hspace{0.5cm}s=\sqrt{Z'Y'}=\pm mavendo dunque due soluzioni per s ( essendo una radice ) , avrò una soluzione avente forma
2.24) \hspace{0.5cm} V(x)=k_1 e^{mx}+k_2 e^{-mx}Avendo ora l’espressione di V(x), possiamo derivarla e inserirla nella 2.12) al fine di ricavare l’espressione della corrente. Procediamo quindi a derivare V(x)
2.25) \hspace{0.5cm} \frac{dV(x)}{dx}=mk_1 e^{mx}-mk_2 e^{-mx}Inseriamo la 2.23) nella 2.12) e riordiniamo
2.26) \hspace{0.5cm} I(x)=-\frac{1}{Z'}[mk_1 e^{mx}-mk_2 e^{-mx}] ma \hspace{0.5cm} \sqrt{Z'Y'}=\pm m \Rightarrow \frac{1}{Z'}m = \sqrt{\frac{Y'}{Z'}} =\frac{1}{Z_c}= Y_cquindi la 2.23) diventa
2.27) \hspace{0.5cm} I(x)=-Y_c[k_1 e^{mx}-k_2 e^{-mx}] Possiamo ora imporre le condizioni al contorno
2.28) \hspace{0.5cm}\left\{\begin{matrix}
V(x=0)=V_0\\I(x=0)
= I_0
\end{matrix}\right.Sostituendo le condizioni al contorno 2.28) in 2.24) e 2.27) ottengo
2.28) \hspace{0.5cm}\left\{\begin{matrix}
2.28.1) \hspace{0.5cm}V_0=k_1 +k_2 \.28.2) \hspace{0.5cm}I_0=-Y_c[k_1 -k_2]
\end{matrix}\right.Moltiplico la 2.28.2) per Zc, ricavo k2 dalla 2.28.1) e lo sostituisco nella 2.28.2)
2.29) \hspace{0.5cm} Z_cI_0=-k_1+k_2=-2k_1+V_0 \Rightarrow k_1= \frac{V_0-Z_cI_0}{2}Ricavo il k2 sostituendo il k1 nella 2.28.1) ottenendo quindi
2.30) \hspace{0.5cm}\left\{\begin{matrix}
2.30.1) \hspace{0.5cm}k_1= \frac{V_0-Z_cI_0}{2} \.30.2) \hspace{0.5cm}k_2= \frac{V_0+Z_cI_0}{2}
\end{matrix}\right.Inserendo le 2.30) nelle 2.24) e 2.26) ottengo
2.31) \hspace{0.5cm}I(x) = -Y_c \left\{ (\frac{V_0-Z_cI_0}{2}) e^{mx} - (\frac{V_0+Z_cI_0}{2}) e^{-mx} \right\} = -Y_c \left\{ \frac{V_0}{2} e^{mx} -\frac{Z_cI_0}{2}e^{mx} - \frac{V_0}{2} e^{-mx} -\frac{Z_cI_0}{2}e^{-mx} \right\}ricordando che
2.32.1) \hspace{0.5cm}sinh(x) = \frac{1}{2}e^{x} - \frac{1}{2}e^{-x} \hspace{0.5cm}2.32.1) \hspace{0.5cm}cosh(x) = \frac{1}{2}e^{x} + \frac{1}{2}e^{-x}la 2.31) diviene
2.31) \hspace{0.5cm}I(x) = -Y_c V_0sinh(mx) + I_0cosh(mx)Procedendo analogamente anche per l’equazione di propagazione della tensione, otteniamo :
EQUAZIONI DI PROPAGAZIONE [EDP] INGRESSO-USCITA ( DIRETTE ) ( conosco V(x=0) e I(x=0) )
2.32)\hspace{0.5cm}\left\{\begin{matrix}
2.32.1)\hspace{0.5cm}V(x) = V(0)cosh(mx)- Z_cI(0)sinh(mx) \.32.2)\hspace{0.5cm}I(x) = -Y_c V(0)sinh(mx) + I(0)cosh(mx)
\end{matrix}\right.Per l diverso da zero otteniamo :
EQUAZIONI DI PROPAGAZIONE [EDP] USCITA ( l ) – INGRESSO ( 0 ) ( INVERSE ) ( conosco V(x=l), I(x=l) )
2.33)\hspace{0.5cm}\left\{\begin{matrix}
2.33.1)\hspace{0.5cm}V(x) = V(l)cosh(m(l-x))- Z_cI(l)sinh(m(l-x)) \.33.2)\hspace{0.5cm}I(x) = -Y_c V(l)sinh(m(l-x)) + I(l)cosh(m(l-x))
\end{matrix}\right.Definiamo quindi una generica linea di trasmissione come un doppio bipolo, e scriviamo le EDP dirette e inverse.
Riassunto in FIg. 2.6
Definiamo quindi una generica matrice i cui termini si specializzano nel caso si scelgano EDT Dirette o EDT Inverse
[\Phi]= \begin{bmatrix}
\Phi_{11} &\Phi_{12} \\
\Phi_{21} &\Phi_{22}
\end{bmatrix} \ in \ caso \ di \ EDT \ DIRETTE \Rightarrow [\Phi]= \begin{bmatrix}
A & -B \\
-C &D
\end{bmatrix} Dunque le EDT divengono
\begin{bmatrix}
V(l) \\ I(l)
\end{bmatrix} = \Phi \begin{bmatrix}
V(0) \\ I(0)
\end{bmatrix} \Rightarrow \ \begin{bmatrix}
V(0) \\ I(0)
\end{bmatrix} = \Phi^{-1} \begin{bmatrix}
V(l) \\ I(l)
\end{bmatrix} LINEE DI TRASMISSIONE MULTICONDUTTORE
